Pierścienie, całkowania domen i pól

link: http://efgh.com/math/algebra/rings.htm

Philip J. Erdelsky

24 marca 2007 roku

1. Pierścienie

Pierścień jest zestaw R i dwóch operacji binarnych, zwany dodawania i mnożenia, o następujących właściwościach:

  • Pierścień jest grupą komutacyjną w uzupełnieniu.
  • Mnożenie jest asocjacyjne:

    a (bc) = (ab) c

  • Mnożenie rozprowadza się nad dodawaniem:

    a (b + c) = ab + ac
    (a + b) c = ac + bc

Właściwości mnożenia obejmujące zero (tożsamość dodatku) i podpisane pierwiastki są takie same, jak liczby całkowite (które są pierścień), a dowody są takie same, ale nieco bardziej skomplikowane, ponieważ mnożenie niekoniecznie jest przemienne:

  • 0x = x0 = 0
  • (-x) y = x (-y) = – (xy)
  • (-x) (- y) = xy

Izomorfizm pierścień między pierścieniami R i S wynosi jeden do jednego korespondencji f, ⟶ S , która zachowuje działania dzwonka:

  • f (x + y) = f (x) + f (y)
  • f (xy) = f (x) f (y)

Istnieją drobne różnice w definicji pierścienia; to, co zostało przedstawione, jest minimalną definicją. Niektórzy autorzy wymagają, aby pierścień posiada jednostkę , która jest elementem tożsamości dla mnożenia; tj. liczba 1 taka, że 1a = a1 = a dla każdego elementu a pierścienia. Również często wymagane jest, aby 0 ≠ 1 , ponieważ pierścień, w którym 0 = 1 jest trywialnym pierścieniem z tylko jednym elementem.

Przemienne pierścień jest pierścieniem o przemiennej mnożenia.

Liczba całkowita jest pierścieniem przemiennym z jednostką. Parzyste liczby całkowite są pierścieniem przemiennym bez jednostki. Zbiór M , uprzednio zdefiniowany jako liczby całkowite {0, 1, …, M-1} , gdzie dodatek i mnożenie to modulo M , jest pierścieniem przemiennym z jednostką. Zobaczymy kilka pierścieni niekomercyjnych później.

Lewej idealnym pierścienia jest niepusty podzbiór zamknięty pod odjęciu i lewej mnożenie przez dowolny element pierścienia; to znaczy, gdy x i y są idealne i jakikolwiek element pierścieniowy, a następnie xy i AX są ideału. Podobnie prawy ideał pierścienia jest podzbiorem niepustym zamkniętym pod odejmowaniem i prawym mnożeniem dowolnego elementu pierścieniowego; to znaczy, gdy x i y są idealne i jakikolwiek element pierścieniowy, a następnie xy i xa są ideału. idealnyjest zestawem, który jest lewym ideałem i właściwym ideałem. Oczywiście w pierścieniu przemiennym nie ma różnic między trzema rodzajami ideałów.

Chociaż ideał ma być zamknięty tylko pod odejmowaniem, łatwo jest wykazać, że jest on również zamknięty pod dodatkiem. Jeśli x i y są w idealnym, to 0 jest w idealnym, ponieważ jest równe xx , -y jest w idealnym, ponieważ jest równe 0-y , a x + y jest w idealnym, ponieważ jest równe x – (- y) .

Teoria pierścieni jest dobrze rozwiniętym oddziałem matematyki, ale potrzebujemy tylko tych podstawowych pojęć. Zajmiemy się głównie pierścieniami, które mają dodatkowe właściwości.

2. Domeny integralne

Integralną domeny jest przemienne pierścień z jednostką (i 0 ≠ 1 ), w których nie ma dzielnik zera; tzn. xy = 0 oznacza, że x = 0 lub y = 0 (lub oba).

Liczba całkowita jest domeną integralną; to jest przyczyna nazwy. Zbiór M , uprzednio zdefiniowany jako liczby całkowite {0, 1, …, M-1} , gdzie dodawanie i mnożenie są modulo M , jest domeną całkującą, jeśli M jest pierwszorzędne.

Ponieważ domena całka jest grupą dodaną , kolejność niezerowego elementu a jest najmniejszą dodatnią wartością n , jeśli istnieje, taką że na = 0 (gdzie na = a + a + a + … + a ( n razy )). Każdy element niezerowy ma taki sam porządek co 1, ponieważ na = (n1) a = 0 tylko wtedy, gdy n1 = 0 .

Kolejność musi być pierwsza. Gdyby można było brane jako n = AB , a następnie 1 1 + + … + 1 ( A razy) i 1 + 1 + … + 1 ( b razy) byłby dwa niezerowe elementy której produkt będzie wynosić zero.

Kolejność dowolnego niezerowego elementu domeny integralnej jest często nazywana cechą integralnej domeny, zwłaszcza gdy domena całkująca jest również polem.

3. Pola

Domena całkująca jest polem, jeśli każdy element nonzero x ma odwrotny -1 taki, że xx -1 = x -1 x = 1 . Zauważ, że odwrotność jest odwrotnością w wyniku mnożenia; dlatego też elementy niezerowe pola są przemienną grupą przemienną. Liczby rzeczywiste są jeden znany pola, a pierścień P jest polem jeśli p jest liczbą pierwszą. W rzeczywistości jest dość łatwe do udowodnienia, że dowolna skończona domena jest dziedziną.

Podział w polu jest zdefiniowany w zwykły sposób:

x / y = xy -1 ,

gdzie mianownik Y może być różna od zera.

Z tej definicji i właściwości pól możemy wywodzić się ze zwykłymi regułami operacji na frakcjach:

  • a / b = c / d, jeśli i tylko wtedy, gdy ad = bc
  • a / b + c / d = (ad + bc) / (bd)
  • (a / b) (c / d) = (ac) / (bd)
  • (a / b) -1 = b / a
  • (-b) / a = b / (- a) a = – (a / b)
  • 0 / a = 0
  • a / 1 = a

Podpolu pola jest podzbiorem Jest to pole w tych samych operacji dodawania i mnożenia.

4. Dziedziny kwot i liczb racjonalnych

Racjonalny numer jest liczbą rzeczywistą, która może być wyrażona jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Liczba całkowita jest domeną integralną, a liczbą wymierną jest pole. Ten rodzaj relacji ma zastosowanie bardziej ogólnie. Każda integralna domena ma powiązane pole zwane jego obszarem ilorazowym , które jest najmniejszym obszarem, które zawiera podzbiór isomorficzny do domeny.

Związek między liczbami całkowitymi a liczbą wymierną pokazuje, jak można utworzyć pole ilorazów.

Niech D będzie integralną domeną. Najpierw definiujemy zależność na D ⨯ (D – {0}) w następujący sposób:

(a, b) ~ (c, d), jeśli ad = bc

(Zauważ, że to jest / b = c / d usunięte z frakcji). Łatwo jest wykazać, że jest to relacja równoważności.

Definiujemy dodawanie i mnożenie na D ⨯ (D – {0}) w następujący sposób:

(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
(a, b) (c, d) = (ac, bd)

Można wykazać, że dodanie równoważnych par daje równoważne wyniki. Stąd dodanie dwóch klas równoważności można zdefiniować jako klasę zawierającą sumę dowolnych elementów w dwóch klasach. Mnożenie klas równoważności można zdefiniować w ten sam sposób.

Można wykazać, że zbiór grup równoważnych ma pole w tych definicjach dodawania i mnożenia i klasy zawierające pary postaci (A, 1) są izomorficzna D .

Ponadto pole to jest najmniejsze na tym polu; każde inne pole, które zawiera podzbiór isomorficzny do D zawiera również pole podrzędne izomorficzne do pola ilorazów w konstrukcjach. Izomorfizm to odwzorowanie, które przenosi każdy iloraz a / b dwóch elementów D na klasę równoważności zawierającą (a, b) .

Pole liczb wymiernych pochodzących z liczb całkowitych jest często zapisywane jako Q .

5. Zamawiane domeny integralne

Uporządkowane domeny integralną jest integralną domeny z podzbioru pozytywnych elementów o następujących właściwościach:

  • Suma i iloczyn dwóch pozytywnych elementów są pozytywne.
  • Zero nie jest pozytywne.
  • Dla każdego niezerowego pierwiastka a , a lub -a , ale nie oba, jest dodatni.

Element a zamawianej domeny całki jest ujemny, jeśli -a jest dodatni.

Ponieważ zarówno lub -a dodatnia jest niezerowe, produkt AA , która jest równa (-a) (- a) ma wartość dodatnią, w obu przypadkach. W szczególności jednostka jest pozytywna.

Nazywa się to zamówieniem, ponieważ można otrzymać liniowy porządek domeny całkującej lub pola, definiując <b, gdy ba jest dodatnia.

Pole ilorazów uporządkowanej domeny całkowej jest sortowane przez określenie jako dodatnie iloraz dwóch pozytywnych elementów domeny całkowej. W rzeczywistości jest to jedyny sposób zamawiania pola w sposób zgodny z porządkiem domeny integralnej.

Uporządkowane pole jest archimedialne, jeśli każda liczba jest mniejsza niż kilka jednostek. Pole racjonalnych liczb jest archimedialne; później zobaczymy pola nie-archimedialne.

6. Dziedzina Prawdziwych Liczb

Pole Q racjonalnych liczb jest niewystarczające do wielu celów. To wydaje się być pełne dziur. Na przykład, nie ma sensownego numeru, którego kwadrat jest dokładnie 2 , co można wykazać przez założenie, w celu sprzeczności, że m i n są dwoma liczbami całkowitymi tak, że (m / n) 2 = 2 . Oznaczałoby to, że 2 = 2n 2 , co jest niemożliwe, ponieważ pierwszy czynnik 2 pojawia się parzyste razy w lewym elemencie i nieparzystą ilość razy w prawym elemencie. Stąd każdy racjonalny numer jest albo mniejszy niż pierwiastek kwadratowy 2 lub większy niż pierwiastek kwadratowy2 , ale nigdy nie równa pierwiastkowi kwadratowemu równemu 2 .

Istnieje wiele sposobów wypełnienia otworów. Jeden z nich obejmuje sekwencje i granice, które należą do dziedziny analizy, a nie algebry.

Sekwencja {X 1 , X 2 , X 3 , …} liczb wymiernych jest sekwencja Cauchy- jeżeli dla każdej pozytywnej e jest liczbą całkowitą n takie, że | i – X J | < e gdy i> n i j > n .

Argument Cauchy’a racjonalnych liczb nie zawsze ma racjonalną granicę. Na przykład dość łatwo jest zbudować sekwencję Cauchy’a liczb wymiernych, która zbliża się do pierwiastka kwadratowego 2 .

Dwie sekwencje Cauchy’ego {X 1 , X 2 , X 3 , …} i {Y 1 , Y 2 , Y 3 , …} są równoważne, jeśli ich różnica określenie jednostkowych okresie {x 1 – R 1 , X 2 – y 2 , x 3 – y 3 , …} zbliża się do zera. Łatwo pokazać, że jest to właściwie związek równoważności.

Klasy równoważności są liczbami rzeczywistymi.

Zdefiniujemy dodawanie i mnożenie sekwencji Cauchy z dodatkiem i pomnożeniem po sobie:

  • {X 1 , X 2 , X 3 , …} + {Y 1 , Y 2 , Y 3 , …} = {X 1 + r 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 ,. ..} .
  • {x 1 , x 2 , x 3 , …} {y 1 , y 2 , y 3 , …} = {x 1 y 1 , x 2 y 2 , x 3 y 3 , …} .

Łatwo dowieść, że równoważne sekwencje mają ekwiwalentne sumy i tylko nieco trudniej udowodnić, że równoważne sekwencje mają równoważne produkty. Stąd dodanie i mnożenie klas równoważności jest dobrze zdefiniowane.

W rezultacie ma wszystkie wymagane właściwości pola, oraz sekwencje, które mają racjonalną granice są izomorficzna Q .

Wynikiem jest uporządkowana pole, w którym dodatnia jest klasą równoważność zawierający sekwencję {X 1 , X 2 , X 3 , …} , dla których I > E dla wszystkich i> n o pewnym dodatnią e niektóre liczba całkowita n . Łatwo jest być archimedialnym.

Prawdziwe liczby, zdefiniowane w ten sposób, mają inną ważną właściwość. Pole jest kompletne , co oznacza, że każda sekwencja Cauchy’a liczb rzeczywistych ma realną granicę.

Twierdzenie 6.1 Prawdziwe liczby, zbudowane z sekwencji Cauchy’a, są kompletne.

Dowód. Niech {R 1 , R 2 , R 3 , …} jest sekwencją Cauchy- liczb rzeczywistych. Następnie każdy termin I reprezentowany jest przez klasę równoważności sekwencji Cauchy’ego liczb wymiernych. Wybierz jeden i znajdź pierwszy termin w nim, tak aby różnica w wartości bezwzględnych kolejnych terminów w nim zawsze wynosi mniej niż 1 / i . Klasę równoważności sekwencji takich pierwszych terminów stanowi granica pierwotnej sekwencji liczb rzeczywistych.

Właściwość uzupełnienia może być wyrażona w inny sposób. Górną granicę dla zbioru liczb jest tylko numer większy niż lub równy, każdy element zestawu.

Twierdzenie 6.2 Każdy niepustny zestaw liczb rzeczywistych, który ma górną granicę ma co najmniej górną granicę; tj. górną granicą, która jest mniejsza niż jakikolwiek inny górny związany.

Dowód. Metoda bisekcji jest najprostszym dowodem. Konstruujemy dwie sekwencje Cauchy’a {x 1 , x 2 , x 3 , …} i {y 1 , y 2 , y 3 , …} w następujący sposób.

Niech 1 będzie elementem zbioru i niech 1 będzie górną granicą.

n etapie -tym, n nie jest górną granicą i n stanowi górną granicę. Niech m = x ( n + y n ) / 2 . Następnie, gdy m jest górna granica, niech n + 1 = M i n + 1 = r n . Jeżeli m jest górne, niech n + 1 = x n i n + 1 = M .

Te dwie sekwencje Cauchy mają wspólny limit, który jest wymaganym najmniejszym związkiem górnym.