Stare Babiloński mnożenie i wzajemne tabeli

Original: http://www.math.stonybrook.edu/~tony/whatsnew/may12/tablets/bab-mult2.html

Original Source: http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2012-05

Wprowadzenie

Ankietę starej Babilońskiej matematyki jest dostępny na Duncan Melville strona internetowa.

“Stary Babilon” odnosi się tutaj do cywilizacji, która kwitła około czterech tysięcy lat temu (około 2000 r. p. n. e.) na terenie obecnego Iraku. Dokumenty w tym czasie zostały napisane клинописными (“клиновидными”) hieroglifami na glinianych tabliczkach, z których większość była prostokątne i miały Rozmiar, który wygodnie leży w dłoni (około 5×85×8cm lub 2×32×3 cala). Setki tysięcy tabliczek zostały wydobyte z ruin tej cywilizacji; być może, tysiąc lub dwa z nich odnoszą się do matematyki. Na przykład, kolekcja muzeum archeologii i antropologii uniwersytetu Pensylwanii, katalog, ze zdjęciami, na stronie Клинописной inicjatywy biblioteki cyfrowej, zawiera 458 starych babilońskich matematycznych tabletów (z których około 110 zostały opublikowane).

Dla starszych babilończyków matematyka była praktycznej. Wiele matematyczne tablice są “tekstami zadań”: zawierają zadania lub zestawy zadań, czasami z rozwiązaniami. Wiele problemów wynika geometrii, reszta prawie zawsze “zadania tekstowe”, gdzie kontekst obliczenia powierzchni niewłaściwego pole, objętość rowu, ilość cegieł, aby zbudować rampę, … . Zrozumienie rozwiązywaniu problemów wymaga się, oprócz znajomości języka, używanego do ich nagrywania, głębokiego zrozumienia kultury (w szczególności różnych systemów jednostek i ich związków). Nawet geometryczne zadania wymagają specjalnego słownictwa i wiedzy Babilońskiego sposobu podania rozwiązania. Ale wraz z problemami tekstami i “tabel teksty”, które może zrozumieć każdy, kto opanował Babilońskiej system liczbowy; jest to pierwsze znane przykłady tradycji matematycznego tabelarycznego robi, żywego i przydatne do tej pory.

1

Tabliczki mnożenia z mojego zeszytu klasy 3B. Format jest taki sam jak u starego Babilończycy (patrz 12-krotność tabela poniżej). Istotną różnicą jest wyliczenie liczby 00; u starych babilończyków takiego znaku nie było.

Istnieje tabeli kwadratów stóp korzeni sześciennych korzeni i podobnych obliczeń; tutaj skupimy się na dwóch najbardziej podstawowych: tabelach mnożenia i tabelach wzajemnych (dla starszych babilończyków podział na nn wyniosła mnożenie na 1n1n). Nauka tych tekstów pozwala nam prawdziwą intelektualną więź z użytkownikami matematyki, które poprzedziły Rzymian na tyle lat, ile rzymianie poprzedziły nas.

Moja wdzięczność Bill Casselman i w Christian Siebeneicher dla zagospodarowania mną z obrazami (i Yale Balylonian zbierania na uzyskanie zezwolenia na odtwarzanie NBC 7344); i przede wszystkim Jöran Friberg , który zrobił mi piękne zdjęcia tabletek od Martin Schøyen kolekcji. Linki do ” Friberg “w tym tekście prowadzą do jego książce” wspaniały Zbiór babilońskich tekstów matematycznych ” (Springer, 2007).

Stara Babel system liczbowy

Stara Babel system liczbowy charakteryzuje się trzema cechami:

  • Liczby podane są w systemie liczbowym base-60 (“sexagesimal”). To było lokalne i bardzo ważny wynalazek; my nadal utrzymujemy ich oznaczenia dla pomiaru kątów i czasu: stopni (lub godzin), minut i sekund.
  • Liczby od 1 do 59 (brak symbolu zera) prezentowane są kombinacjami znaków dla 1 i symbol 10. Podobnie jak w Rzymskim liczby, wykorzystujący tylko i i X. Babilońskie liczby od 1 do 20 (plus 30, 40, 50) pojawiają się w środkowych kolumnach każdej z czterech tabel mnożenia, przedstawionych poniżej.
  • Jak mówi Friberg :” wszystko babilońskie sexagesimal liczby są zapisywane tak, jak gdyby były liczbami całkowitymi, ale spodziewana wartość sexagesimal liczby w babilońskiej клинописном tekście może być jego “nominalnym” wartości, умноженным na każdą pozytywną lub negatywną stopień 60.”Skala planowanego wartości powinien być kontekstem.

A ten-times table

In decimal notation a 10-times table is not very interesting, but in base-60 things are less trivial.

23

4

Ten 10-krotny Tablica, tabliczka VAT7858 ze zbiorów muzeum Vorderasiatisches, Berlin, wystawa wspólnych formatów tabel mnożenia: pierwszy wiersz (częściowo nieczytelne tutaj) otrzymuje brzmienie
10 a-rà(czasy) 1     10.
W wierszu 2 w tym formacie mnożnik nie uwzględnia się:
a-rà 2     20
a-rà 3     30,
zbliża mnożna na 1 za każdym razem. VAT7858 daje nam dobre Wprowadzenie do starego Babiloński baza-60 miejsce-wartość oznaczenia:
a-rà 6     1
a-rà 7     1  10

a-rà 13     2  10

56

7

Rewers głosi
a-rà 14     2  20

a-rà 19     3   10
a-rà 20     3   20.
Po 20, jak zwykle, pojawiają się multiplikaty 30, 40 i 50:
a-rà 30     5
i (częściowo nieczytelne)
a-rà 40     6   40
a-rà 50     8   20.
Tabela kończy się колофоном indeks górny i dolny indeks, zwykle nazwiskiem pisarza i datą.
Zdjęcia zmarły Peter Damerow (Damerow był aktywny w Cuneiform Inicjatywa W Zakresie Elektronicznych Bibliotek), uprzejmość Christian Siebeneicher.

Pięć razy Tabela

89

10

Ten 5-krotny Tabela (Tabletka NBC7344 z Yale Babilońskiej kolekcji) ma ten sam Format, co VAT7858:
5 a-rà 1     5
a-rà 2     10 
a-rà 3     15

a-rà 11     55.

 

 

1112

13

Zwrotny biegnie od
a-rà 12     1 
do
a-rà 19     1   35 (Zwróć uwagę na” subtraktywny” zapis 20 minus 1 do 19, niż” 10+9 ” VAT7858)
a-rà 20     1   40 
a-rà 30     2   30 
a-rà 40     3   20
a-rà 50     4   10 .
Zdjęcia Bill Casselman, obrazy wykorzystane za zgodą autora.

Dwanaście razy stół

1415

16

Na tej 12-krotność tabeli (Tabletka MS2184/3 w kolekcji Schøyen) Format różni się od standardowego NBC7344: mnożnik powtarza się w każdym wierszu:
12 a-rà 1     12
12 a-rà 2     24

12 a-rà 10     2.

 

 

1718

19

Na odwrocie:
12 a-rà 11     2   12

12 a-rà 19     3   48
12 a-rà 20     4
12 a-rà 30     6
(trzy ostatnie wiersze na odwrotnej stronie tabletu częściowo są nieczytelne, ale należy zwrócić uwagę na znak specjalny “odejmowania” 19).

 

2021

22

Ostatnie dwa wiersze wokół dolną / górną część tabletu:
12 a-rà 40     8   
12 a-rà 50     10.
Zdjęcia dzięki uprzejmości Jöran Friberg.

1 1/5 Tabela czasów

2324

25

Ta Tabela (MS3866 w spotkaniu Schøyen) ma “kiwać pokój” 1 12, tak, że to 115-razem w tabeli; należy do standardowego Formatu:
1 12 a-rà 1     1 12
a-rà 2     2 24

a-rà 16     19 12.

 

 

 

2627

28

Na odwrocie pierwsze trzy wiersze częściowo brakuje, ale będą czytać:
a-rà 17     20   24
a-rà 18     21   36
a-rà 19     22   48 (należy zwrócić uwagę na jeszcze jeden znak “odejmowania” 19).
Następnie:
a-rà 20     24
a-rà 30     36
a-rà 40     48   
a-rà 50     1.
MS 3866 kończy się kwadratem mózgu pokoje:
1 12 a-rà 1 12     1 26 24.
Zdjęcia dzięki uprzejmości Jöran Friberg.

Tabele wartości zwrotnych

Standardowa Babel Tabela daje odwrotne liczby  3/2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 1, 1 04, 1 21; wzajemne-to sexagesimal numery, z którymi są mnożone, aby dać 1. Sniektóre tabele świateł 3/2, niektórzy też dają 1 121 151 20. Z 1 jest jakaś władza 60=22⋅3⋅5,

liczby te powinny być regularna: mogą mieć tylko 2, 3 i 5 jako głównych czynników.

Liczby w standardowej tabeli mają właściwość, że oni i ich wzajemności wymagają nie więcej niż trzy шестидесятиричных miejsc. Gdybyśmy spróbowali podobną konstrukcję z naszymi miejscami po przecinku, lista mogłaby zawierać tylko

1,25,425,81251,2↔5,4↔25,8↔125 and 1662516↔625.

Tablet, jak pokazano tutaj, MS3874 w kolekcji Schøyen. Transkrypcja i (tłumaczenie) są kopiowane z Friberg.

2930

31

1 .da 3″ .bi 40 .àm (1, jej 2/3, 40 to);
šu.ri.a.bi 30 àm (jej połowa, 30 to)
igi. 3 gál.bi 20: (odwrotnie 3 … jest 20)
igi. 4 gál.bi 15
igi. 5 gál.bi 12
igi. 6 gál.bi 10
igi. 8 gál.bi 7 30
igi. 9 gál.bi 6 40
igi. 10 gál.bi 6
igi. 12 gál.bi 5
igi. 15 gál.bi 4
igi. 16 gál.bi 3 45
igi. 18 gál.bi 3 20
igi. 20 gál.bi 3
igi. 24 gál.bi 2 30
igi. 25 gál.bi 2 24
igi. 27 gál.bi 2 13 20
igi. 30 gál.bi 2

3233

34

Dolna część tabletu brakuje. Friberg dostarcza polecenia niezbędne (w dolnej części przedniej i górnej części tylnej), aby zakończyć standardowej tabeli wzajemnych:
igi. 32 gál.bi 1 52 30
igi. 36 gál.bi 1 40
igi. 40 gál.bi 1 30
igi. 45 gál.bi 1 20
igi. 48 gál.bi 1 15
igi. 50 gál.bi 1 12
igi. 54 gál.bi 1 06 40
igi. 1 gál.bi 1.
Odwróć tabele posiada dwa czytelne polecenia:
igi. 1 04 gál.bi 56 15
igi. 1 21 gál.bi 44 26 40.
Friberg tłumaczy colophon:
“długa tabliczka” została napisana przez studenta ši-ip-suen. Zdjęcia dzięki uprzejmości Jöran Friberg.

Do matematycznej spójności uważam, że pierwsze dwa wiersze należy rozumieć jako: 3/2 jest 40,” i ” odwrotna strona 2 jest 30.”